第0章ガイダンス — なぜ「公理系」として学ぶのか
この章の目標
- ステップ1で学ぶ5つの要素の全体像を掴む
- 「物理としての量子力学」と「計算モデルとしての量子力学」の違いを知る
- 前提知識のセルフチェックで、復習が必要な箇所を特定する
0.1 量子力学は「ルールブック」として学べる
量子力学を物理として学ぼうとすると、シュレディンガー方程式、波動関数、ハミルトニアン……と、道のりは長大です。しかし量子計算に必要なのはそのごく一部で、しかもそれは「物理的な直観」ではなく「線形代数のルールブック」として学べます。チェスを指すのに木材の物性を知る必要がないのと同じで、量子コンピュータを理解するのに電子や光子の物理を知る必要はありません。必要なのは駒の動かし方＝公理だけです。
そのルールは、たった4つの公理（＋道具としての記法）に集約されます。
| 問い | 答え（公理） | 章 | |
|---|---|---|---|
| 道具 | 何を使って書くのか？ | 複素ベクトル空間とブラケット記法 | 第1章 |
| 公理1 | 「状態」とは何か？ | ノルム1の複素ベクトル | 第2章 |
| 公理2 | 状態はどう変化するか？ | ユニタリ行列を掛ける | 第3章 |
| 公理3 | 状態から情報をどう取り出すか？ | 射影測定。確率はボルン則で決まる | 第4章 |
| 公理4 | 複数の量子ビットはどう書くか？ | テンソル積で合成する | 第5章 |
0.2 「不思議さ」の正体を先取りしておく
重ね合わせ、観測による収縮、エンタングルメント——量子力学の「不思議」として語られるものは、この公理系の上ではすべて短い計算で導ける帰結です。
- 「重ね合わせ」は、状態ベクトルが基底ベクトルの線形結合で書ける、というだけのこと（第2章）。
- 「観測すると壊れる」は、測定の公理が射影（＝情報を潰す写像）を含む、というだけのこと（第4章）。
- 「エンタングルメント」は、合成系のベクトルの中にテンソル積の形に分解できないものがある、というだけのこと（第5章）。
もちろん「なぜ自然がこの公理系に従うのか」は誰にも分かりません。しかしそれは公理を使う上では問題になりません。ユークリッド幾何の公理がなぜ成り立つか悩まずに図形問題が解けるのと同じです。
0.3 この教材の使い方
- 演習が本体です。各章の本文は演習を解くための最小限の準備です。ウォームアップ → 基本 → 考え方、の順に必ず紙で解いてください。
- 解答は1回考えてから開く。5分考えて分からなければ開いてよい。ただし解説を読んだ問題は翌日解き直すこと。
- インタラクティブ実験はいじり倒す。スライダを極端な値にして「壊れる」様子を見るのが一番勉強になります。
- ステップ2と往復する。第2章まで終えたらQiskitを触り始めても構いません。回路が意味不明になったらここへ戻る、を繰り返すのが最速です。
演習0: 前提知識セルフチェック
以下がスラスラ解ければ準備は万全です。詰まった項目は第1章の該当箇所で復習できるので、解けなくても先へ進んで構いません。
次の行列とベクトルの積を計算せよ。 $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$$
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$\begin{pmatrix} 1\cdot 5 + 2\cdot 6 \\ 3\cdot 5 + 4\cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$。行列×ベクトルは「各行とベクトルの内積を並べる」操作です。この計算は第3章以降、息をするように使います。
行列の積 $AB$ と $BA$ は一般に等しいか？ $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ で確かめよ。
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等しくない。$AB = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$、$BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ で符号が異なる。行列の積は順序に依存する——これは「量子ゲートを掛ける順序が結果を変える」という物理的事実そのものです（第3章）。ちなみにこの $A, B$ はそれぞれ量子ゲートの $X$ と $Z$ です。
$i^2 = -1$ とする。$(2 + 3i) + (1 - i)$ と $(2 + 3i)(1 - i)$ を計算せよ。
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和は $3 + 2i$。積は $2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$。複素数の四則演算は第1章で復習しますが、「$i^2$ が出たら $-1$ に置き換える」だけの機械的な操作です。
ベクトル $\vec{u} = (1, 0)$ と $\vec{v} = \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}, \tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ の内積を求めよ。また $\vec{v}$ の長さ（ノルム）を求めよ。
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内積は $1 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{2}} + 0 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{2}} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}$。ノルムは $\sqrt{\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}} = 1$。このノルム1のベクトル $\vec{v}$、実は量子状態 $|+\rangle$ の実数版です。$\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ という数はこの教材で最頻出の定数になります。
コインを2枚投げる。表裏の出方は4通りあり、すべて確率 $\tfrac{1}{4}$ とする。「少なくとも1枚が表」の確率は？ また、4通りの確率の合計はいくつでなければならないか？
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$1 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}$。確率の合計は必ず $1$。この「全事象の確率の和は1」という当たり前の要請が、量子状態に「ノルム1」という条件を課す理由になります（第2章）。