第1章複素数と複素ベクトル空間、ブラケット記法
この章の目標
- 複素数を「大きさと位相を持つ量」として扱えるようになる（オイラーの公式）
- 複素ベクトルの内積・ノルムを正しく計算できるようになる（複素共役を忘れない）
- ブラケット記法 $|\psi\rangle$, $\langle\varphi|\psi\rangle$ を「ただの行列記法」として読み書きできるようになる
1.1 複素数の復習 — 「位相」という見方
複素数 $z = a + bi$（$a, b$ は実数、$i^2 = -1$）について、量子計算で使う道具は3つだけです。
- 複素共役: $z^* = a - bi$（虚部の符号を反転）
- 絶対値（大きさ）: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。便利な関係式 $|z|^2 = z^* z$ が成り立つ
- 極形式: $z = r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$。$r = |z|$ が大きさ、$\theta$ が位相
最後の等式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ がオイラーの公式です。証明はテイラー展開でできますが、ここでは「$e^{i\theta}$ は複素平面の単位円上の、角度 $\theta$ の点」という絵を覚えるほうが重要です。
$e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$（オイラーの等式）。$e^{i\pi/2} = i$。つまり「$i$ を掛ける」とは「90°回転させる」こと。$i \cdot i = -1$ は「90°回転を2回すると180°回転（＝符号反転）」と読めます。
1.2 複素ベクトルと内積
成分が複素数の縦ベクトルの集合 $\mathbb{C}^n$ を考えます。量子計算の主戦場は当面 $\mathbb{C}^2$（1量子ビット）と $\mathbb{C}^4$（2量子ビット）です。足し算とスカラー倍は実ベクトルと同じですが、内積の定義だけが違います。
$\vec{u} = (u_1, \dots, u_n)$, $\vec{v} = (v_1, \dots, v_n)$ に対して $$\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \sum_{k=1}^{n} u_k^*\, v_k$$ 左側の成分に複素共役を付けるのがポイント。ノルムは $\|\vec{v}\| = \sqrt{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle}$。
なぜ共役を付けるのか？ 付けないと $\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle$ が負や複素数になり得て、「長さの2乗」として使えないからです。共役を付ければ $\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle = \sum_k |v_k|^2 \geq 0$ となり、長さがちゃんと定義できます（演習1-6で確認します）。この $\sum_k |v_k|^2$ という形、第2章で「確率の合計」として再登場します。
$\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix}$ のとき $$\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 1^* \cdot i + i^* \cdot 1 = i + (-i) \cdot 1 = i - i = 0$$ 内積が0なので、この2つは直交しています。見た目からは直交に見えないのが複素ベクトルの面白いところです。
1.3 正規直交基底
ベクトルの組 $\{\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n\}$ が正規直交基底であるとは、(1) 各ベクトルのノルムが1、(2) 異なるベクトル同士の内積が0、(3) 任意のベクトルがそれらの線形結合で書ける、を満たすこと。
$\mathbb{C}^2$ の標準基底は $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ です。しかし正規直交基底は他にも無数にあります。量子計算で頻出なのが $$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ の組です（演習1-7で正規直交性を確認します）。同じベクトルでも、どの基底で展開するかによって係数は変わる——この当たり前の事実が、第4章で「どの基底で測定するかで結果が変わる」という量子力学の核心につながります。
1.4 ブラケット記法 — 種明かし
ここで量子力学の記法を導入します。身構える必要はありません。中身はこれまでの縦ベクトル・横ベクトルそのものです。
- ケット $|\psi\rangle$ … 縦ベクトルのこと。$|\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$
- ブラ $\langle\psi|$ … そのケットの共役転置（転置して各成分を複素共役）。$\langle\psi| = (\alpha^*, \beta^*)$
- ブラケット $\langle\varphi|\psi\rangle$ … ブラ（横）×ケット（縦）の行列積 ＝ 1.2節の複素内積そのもの
$\mathbb{C}^2$ の標準基底には名前が付いています： $$|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ のとき、$\langle 0|\psi\rangle$ は： $$\langle 0|\psi\rangle = (1, 0) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 一般に $\langle 0|\psi\rangle$ は「$|\psi\rangle$ の第1成分の取り出し」、$\langle 1|\psi\rangle$ は「第2成分の取り出し」になります。基底との内積＝その基底方向の係数の取り出し、です。
頻出ベクトルには略記があります。今後よく使うので、ここで手に馴染ませておきましょう： $$|+\rangle = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad |-\rangle = \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$
Statevector オブジェクトとして取り出せます。その中身は本章で学んだ複素ベクトルの成分リストそのものです。また $|+\rangle$ は「アダマールゲート $H$ を $|0\rangle$ に作用させた状態」として、ステップ2の最初に再会します。
演習1
$z = 3 + 4i$ について、$z^*$、$|z|$、$z^* z$ を計算せよ。
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$z^* = 3 - 4i$。$|z| = \sqrt{9 + 16} = 5$。$z^* z = (3-4i)(3+4i) = 9 + 12i - 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25 = |z|^2$。「共役を掛けると絶対値の2乗（実数）になる」——ボルン則（第4章）の計算で毎回使う操作です。
次の複素数を極形式 $re^{i\theta}$ で表せ。(a) $1 + i$ (b) $-2$ (c) $-i$
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(a) $r = \sqrt{2}$, $\theta = \pi/4$ なので $\sqrt{2}\, e^{i\pi/4}$。(b) $2 e^{i\pi}$。(c) $e^{-i\pi/2}$（$e^{i3\pi/2}$ でも同じ）。複素平面に点を打って「原点からの距離」と「x軸からの角度」を読むだけです。
オイラーの公式を使って $e^{i\pi/3} \cdot e^{i\pi/6}$ を計算し、結果を $a + bi$ の形で書け。
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位相は足し算なので $e^{i(\pi/3 + \pi/6)} = e^{i\pi/2} = i$。極形式を経由すれば掛け算が足し算になる——三角関数の加法定理を覚えるより、この経路のほうが速くて確実です。
$\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ i \end{pmatrix}$ について $\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle$ と $\langle \vec{v}, \vec{u} \rangle$ を計算せよ。2つの結果にはどんな関係があるか。
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$\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 1^* \cdot 2 + (-i)^* \cdot i = 2 + i \cdot i = 2 - 1 = 1$。あれ、実数になりましたが一般には複素数です。もう一度：$(-i)^* = i$ なので第2項は $i \cdot i = -1$、合計 $2 - 1 = 1$。$\langle \vec{v}, \vec{u} \rangle = 2^* \cdot 1 + i^* \cdot (-i) = 2 + (-i)(-i) = 2 - 1 = 1$。一般に $\langle \vec{v}, \vec{u} \rangle = \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle^*$（順序を入れ替えると複素共役になる）が成り立ちます。この例ではたまたま値が実数なので同じ値になりました。
$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1+i \\ 1-i \end{pmatrix}$ のノルムを求め、ノルム1に正規化せよ。
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$\|\vec{v}\|^2 = |1+i|^2 + |1-i|^2 = 2 + 2 = 4$ なので $\|\vec{v}\| = 2$。正規化すると $\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+i \\ 1-i \end{pmatrix}$。「各成分の絶対値の2乗を足してルート、それで割る」——量子状態を作るとき必ず通る操作です。
内積の定義で複素共役を付けなかったとしたら（つまり $\sum_k u_k v_k$ と定義したら）、何が困るか。$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}$ で「自分自身との内積」を計算して確かめよ。
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共役なし版だと $1 \cdot 1 + i \cdot i = 1 - 1 = 0$。ゼロベクトルでないのに「長さ0」になってしまい、長さの定義として破綻します。共役あり版なら $1 + |i|^2 = 2$ で正しく正になります。定義は天下りに見えて、実は「長さがちゃんと定義できること」という要請から必然的に決まっている——公理を学ぶときは常に「なぜこの形でなければならないか」を一度は疑うと定着します。
$|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ が正規直交基底であることを確認せよ（$\langle +|+\rangle$, $\langle -|-\rangle$, $\langle +|-\rangle$ を計算する）。
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$\langle +|+\rangle = \tfrac{1}{2}(1 + 1) = 1$、$\langle -|-\rangle = \tfrac{1}{2}(1 + 1) = 1$、$\langle +|-\rangle = \tfrac{1}{2}(1 - 1) = 0$。ノルム1かつ直交なので正規直交基底です。$\{|0\rangle, |1\rangle\}$ 以外にも「座標軸の取り方」が無数にある、という感覚が大事です。
$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ i\sqrt{2} \end{pmatrix}$ について、$\langle 0|\psi\rangle$, $\langle 1|\psi\rangle$, $\langle \psi|\psi\rangle$ を計算せよ。
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$\langle 0|\psi\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{3}}$（第1成分の取り出し）。$\langle 1|\psi\rangle = \tfrac{i\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$（第2成分の取り出し）。$\langle \psi|\psi\rangle = \tfrac{1}{3}\left(|1|^2 + |i\sqrt{2}|^2\right) = \tfrac{1}{3}(1 + 2) = 1$。ノルム1なので、これは第2章の意味で「正しい量子状態」です。
$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ を $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ 基底で展開したい。つまり $|\psi\rangle = c_+|+\rangle + c_-|-\rangle$ となる係数 $c_+, c_-$ を $\alpha, \beta$ で表せ。ヒント: 正規直交基底なら「係数＝基底との内積」つまり $c_+ = \langle +|\psi\rangle$。
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$c_+ = \langle +|\psi\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(\alpha + \beta)$、$c_- = \langle -|\psi\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(\alpha - \beta)$。検算として $\alpha = 1, \beta = 0$（つまり $|0\rangle$）を入れると $c_+ = c_- = \tfrac{1}{\sqrt{2}}$、すなわち $|0\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)$。$|0\rangle$ は $\{|+\rangle,|-\rangle\}$ 基底から見れば「重ね合わせ」です。重ね合わせかどうかは状態の性質ではなく、どの基底で見るかで決まる——第4章の伏線です。
$|\psi\rangle\langle\varphi|$ という並び（ケット×ブラ）は何になるか。$|0\rangle\langle 0|$ を具体的に行列として書き下し、それを $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ に掛けると何が起きるか計算せよ。
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縦ベクトル×横ベクトルなので $2\times 2$ 行列になります。 $$|0\rangle\langle 0| = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}(1, 0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ これを $|\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$ に掛けると $\begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \end{pmatrix} = \alpha|0\rangle$。つまり「$|0\rangle$ 成分だけを残して他を捨てる」フィルタ（射影）です。第4章の測定はこの演算子で書かれます。