第3章公理2 — 時間発展はユニタリ行列
この章の目標
- 随伴 $U^\dagger$ とユニタリの定義 $U^\dagger U = I$ を使いこなせるようになる
- 「ユニタリ＝ノルムを保つ＝確率の合計を保つ」という意味づけを腹落ちさせる
- $X$, $Z$, $H$ を手計算で状態に作用させられるようになる
3.1 状態の変化は行列で書く
公理1で「状態はベクトル」と決めました。では状態の変化（計算のステップ）はどう書くか。量子力学の答えは「線形変換、つまり行列を掛ける」です。ただしどんな行列でも許されるわけではありません。変換後もノルム1（確率の合計1）が保たれなければならないからです。この条件を満たす行列がユニタリ行列です。
行列 $U$ の随伴 $U^\dagger$ とは、転置して各成分を複素共役したもの（共役転置）。$U$ がユニタリであるとは $$U^\dagger U = U U^\dagger = I$$ を満たすこと。つまり $U^{-1} = U^\dagger$：逆行列が随伴で手に入る。
閉じた量子系の状態変化はユニタリ行列で表される：$|\psi'\rangle = U|\psi\rangle$。
ユニタリの同値な特徴づけを並べておきます。どれか一つが成り立てば他も成り立ちます（演習で一部を証明します）。
- $U^\dagger U = I$（定義）
- すべてのベクトルのノルムを保つ：$\|U|\psi\rangle\| = \||\psi\rangle\|$
- 内積を保つ：$\langle U\varphi|U\psi\rangle = \langle\varphi|\psi\rangle$
- 列ベクトルたちが正規直交基底をなす（実用的な判定法）
3.2 最初の3つのゲート: $X$, $Z$, $H$
量子計算で使うユニタリ行列は「ゲート」と呼ばれます。まず3つ覚えれば十分です。
| ゲート | 行列 | 基底への作用 | 読み方 |
|---|---|---|---|
| $X$ | $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | $X|0\rangle = |1\rangle$ $X|1\rangle = |0\rangle$ | ビット反転（古典NOTの相当物） |
| $Z$ | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ | $Z|0\rangle = |0\rangle$ $Z|1\rangle = -|1\rangle$ | 位相反転（$|1\rangle$ 成分の符号だけ変える。古典に対応物なし） |
| $H$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ | $H|0\rangle = |+\rangle$ $H|1\rangle = |-\rangle$ | アダマール。基底状態と重ね合わせを行き来する |
線形性が計算の要です。ゲートの重ね合わせへの作用は、基底への作用が分かれば自動的に決まります： $$U(\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle) = \alpha\, U|0\rangle + \beta\, U|1\rangle$$ 例えば $X(\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle) = \alpha|1\rangle + \beta|0\rangle$。すべての振幅に同時にゲートがかかる——これが「量子並列性」と呼ばれるものの正体で、特別な仕掛けではなくただの線形性です。
回路で「$H$ を掛けてから $Z$ を掛け、もう一度 $H$ を掛ける」は、行列では右から左に並べて $HZH$ と書きます（最初に作用するものが一番右）。計算してみると： $$HZH = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = X$$ 「$H$ で基底を替えると $Z$ が $X$ に化ける」。基底の取り替えでゲートの意味が変わる好例です。
3.3 位相ゲート $R_\phi$ — 相対位相を操る
$Z$ の一般化として、$|1\rangle$ の位相を任意の角度 $\phi$ だけ回すゲートがあります： $$R_\phi = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\phi} \end{pmatrix}$$ $\phi = \pi$ で $Z$ に一致します。第2章で「相対位相は状態の本質的な情報」と学びました。$R_\phi$ はまさにその相対位相を書き換えるゲートで、標準基底の測定確率を一切変えないのに状態を確かに変えます（演習3-6）。
qc.x(0), qc.h(0) のように書きますが、その裏で起きているのは本章で手計算した行列×ベクトルの積、それだけです。
演習3
$U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}$ の随伴 $U^\dagger$ を書き、$U^\dagger U$ を計算して $U$ がユニタリであることを確認せよ。
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転置は対称なので形は変わらず、共役で $i \to -i$：$U^\dagger = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{pmatrix}$。 $$U^\dagger U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 - i^2 & i - i \\ -i + i & -i^2 + 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = I$$ ユニタリです（これは $\sqrt{X}$ と呼ばれるゲート：2回掛けると $X$ になります。興味があれば $U^2$ も計算してみてください）。
$H|0\rangle$, $H|1\rangle$, $HH|0\rangle$ を計算せよ。
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$H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = |+\rangle$、$H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = |-\rangle$。$HH|0\rangle = H|+\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(H|0\rangle + H|1\rangle) = \frac{1}{\sqrt2}(|+\rangle + |-\rangle) = |0\rangle$。つまり $H^2 = I$：$H$ は自分自身が逆操作です（$X, Z$ も同様）。「$H$ で重ね合わせを作り、もう一度 $H$ で戻す」はステップ3のアルゴリズムの定番パターンです。
次の行列はユニタリか。「列ベクトルが正規直交基底をなすか」で判定せよ。 (a) $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (b) $\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ (c) $\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
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(a) 第2列のノルムが $\sqrt2 \ne 1$、かつ列同士の内積が $1 \ne 0$ で不可。(b) 列は $(0, i)^T$ と $(-i, 0)^T$、各ノルム1、内積 $0^* \cdot (-i) + i^* \cdot 0 = 0$ でユニタリ（これはパウリ行列 $Y$ です）。(c) 列のノルムが $\frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{\sqrt2} \ne 1$ で不可（$H$ の係数を間違えるとこうなります。$\frac{1}{\sqrt2}$ が正しい）。
状態 $|\psi\rangle = \frac{\sqrt3}{2}|0\rangle + \frac{1}{2}|1\rangle$ に (a) $X$、(b) $Z$、(c) $H$ をそれぞれ作用させた結果を求めよ。また各結果について標準基底での測定確率 $P(0)$ を求めよ。
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(a) $X|\psi\rangle = \frac{1}{2}|0\rangle + \frac{\sqrt3}{2}|1\rangle$、$P(0) = \frac14$（振幅の入れ替えなので確率も入れ替わる）。 (b) $Z|\psi\rangle = \frac{\sqrt3}{2}|0\rangle - \frac{1}{2}|1\rangle$、$P(0) = \frac34$（符号だけ変わり、標準基底の確率は不変）。 (c) $H|\psi\rangle = \frac{\sqrt3}{2}|+\rangle + \frac{1}{2}|-\rangle = \frac{\sqrt3 + 1}{2\sqrt2}|0\rangle + \frac{\sqrt3 - 1}{2\sqrt2}|1\rangle$、$P(0) = \frac{(\sqrt3+1)^2}{8} = \frac{4 + 2\sqrt3}{8} \approx 0.933$。(c) では2つの経路の振幅が足し合わされて確率が変わっています——干渉です。
「ユニタリはノルムを保つ」ことを一般に証明せよ。すなわち $U^\dagger U = I$ ならば $\|U|\psi\rangle\|^2 = \||\psi\rangle\|^2$ を示せ。ヒント: $\|U|\psi\rangle\|^2 = (U|\psi\rangle)^\dagger (U|\psi\rangle)$ と書き、$(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$ を使う。
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$\|U|\psi\rangle\|^2 = (U|\psi\rangle)^\dagger(U|\psi\rangle) = \langle\psi|U^\dagger U|\psi\rangle = \langle\psi|I|\psi\rangle = \langle\psi|\psi\rangle = \||\psi\rangle\|^2$。たった1行ですが、これが「量子ゲートを何回掛けても確率の合計が1のまま壊れない」ことの保証です。公理2が「ユニタリ」を要求する理由がこの1行に詰まっています。
位相ゲート $R_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$ を $|+\rangle$ に作用させよ。得られた状態の標準基底での測定確率は $|+\rangle$ と同じか。では $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ 基底での確率 $P(+) = |\langle +|\psi\rangle|^2$ はどうか。
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$R_{\pi/2}|+\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle + i|1\rangle)$。標準基底では $P(0) = P(1) = \frac12$ で $|+\rangle$ と同じ。しかし $\langle +|\psi\rangle = \frac12(1 + i)$ なので $P(+) = \frac{|1+i|^2}{4} = \frac12$。元の $|+\rangle$ なら $P(+) = 1$ でした。位相ゲートは標準基底では「何もしていない」ように見えるが、別の基底では明確に状態を変えている。位相の操作と基底の変更（$H$）を組み合わせることで初めて位相の変化が確率に現れる——これがステップ3で学ぶ干渉ベースのアルゴリズムの骨格です。
行列 $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$（$|0\rangle$ への射影）は「どんな状態も $|0\rangle$ 方向成分だけにする」変換である。これがユニタリでないことを示し、もしこれが時間発展として許されたら何がまずいかを、(a) 確率の観点、(b) 可逆性の観点から述べよ。
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$M^\dagger M = M \ne I$ なので非ユニタリ。(a) $M|1\rangle = 0$（ゼロベクトル）となり、ノルムが $1 \to 0$ に潰れて「すべての測定結果の確率の合計が0」という無意味な状態になる。(b) $M|+\rangle = M|-\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle$ で、異なる入力が同じ出力に潰れるため巻き戻せない＝情報の消去が起きる。公理2は「計算の途中で情報は決して失われない」ことを要求しており、情報を捨てる唯一の手段は測定（第4章）として公理系の別の場所に隔離されています。この役割分担が量子計算の構造の美しいところです。
$|0\rangle \mapsto |+\rangle$, $|1\rangle \mapsto |-\rangle$ と定めるゲートは $H$ だった。では $|0\rangle \mapsto |+\rangle$, $|1\rangle \mapsto |+\rangle$ と定める「ゲート」は存在し得るか。理由とともに答えよ。
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存在し得ません。直交する入力 $|0\rangle, |1\rangle$（内積0）が同じ出力（内積1）に写っており、「ユニタリは内積を保つ」に反します。より初等的には、線形性から $\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt2} \mapsto \frac{|+\rangle+|+\rangle}{\sqrt2} = \sqrt2|+\rangle$ となり、ノルムが $\sqrt2$ に膨らんで状態でなくなります。「基底をどこに写すか」は自由に決められない——正規直交基底は正規直交基底に写らなければならない。ユニタリ性はゲート設計の強い制約であり、実はこの論法はステップ2の no-cloning 定理（状態の複製が不可能）の証明と同じ型をしています。